Urodzony w Senglei 24 lipca 1886 roku w domu przy ulicy Matki Boskiej Bolesnej (który w 1949 roku stał się centrum (Qasam) męskich członków Stowarzyszenia), Borg był czwartym synem Salvatore i Carmeli z domu Mirabelli, rodziny składającej się z 11 rodzeństwa. Rodzina Salvatore, który pracował jako kontroler wagi publicznej w Marsa, i Carmeli, aktywnej gospodyni domowej, uważała się za należącą do klasy średniej w maltańskiej strukturze społecznej.
Eugenio został ochrzczony przez ks. Salwatora Camilleri w kolegiacie parafialnej w Senglei tego samego dnia, co jego narodziny. Zwyczajem podczas chrztów jest nadawanie dzieciom dodatkowych imion. W przypadku Eugenio, nadano mu również imiona Romeo i Józef.
W 1891 roku rodzina Borgów przeprowadziła się z Senglei do Ħamrun, gdzie miały miejsce najważniejsze wydarzenia w życiu Eugenia. Jako chłopiec uczęszczał do szkoły podstawowej w Ħamrun. Widząc, że Eugenio nie wykazywał szczególnego zainteresowania nauką, jego ojciec zdecydował, że syn nie będzie kontynuował nauki w liceum, lecz przygotuje się do pracy w Stoczni. Po zdaniu egzaminu wstępnego do Stoczni i mianowaniu ucznia-aprentisa 8 maja 1902 roku, Borg kontynuował naukę przez kilka lat w Szkole Stoczniowej.